Tercera ley de Kepler

La tercera ley de Kepler hace explicita cual es la relacion entre el semieje mayor de una orbita, el periodo y la masa central en un sistema de iguales caracteristicas que el mencionado en la segunda ley de Kepler.

Como ya fue demostrado, para toda orbita descripta por un cuerpo como consecuencia de una fuerza central vale que:

$A=\displaystyle \frac{L}{2m} t$

Siendo que ya se demostro que que toda orbita producto de la fuerza gravitatoria es eliptica, podemos aplicar dicha relacion para esa forma en particular.
El area barrida al haber transcurrido un tiempo igual al periodo, sera el area de toda la elipse, ya que por definicion de periodo este es el tiempo que tarda el cuerpo en volver al mismo estado, y siendo que el cuerpo transcribe una orbita eliptica, es necesario que para volver al mismo estado recorra todo el perimetro de la elipse, o lo que es lo mismo, que el radiovector barra todo el area.
Como el area de la elipse es $A=ab\pi$ , siendo el semieje mayor y el semieje menor, por lo ya dicho vale:

$ab\pi=\displaystyle \frac {L}{2m} T$

El momento angular $L = rmv sen \alpha$ se mantiene constante (ver demostracion de la segunda ley de kepler), y por lo tanto su valor es el que tenga en cualquiera de las posiciones que puede tomar. Tomemos el valor de en el apoastro, en donde entre el vector posicion y el vector velocidad hay 90º. Si llamamos a la distancia focal:

$\displaystyle ab\pi=\displaystyle \frac{(a+c)v}2 T$

Despejando el periodo y elevando al cuadrado ambos lados de la igualdad:

(1)

$T^2=\displaystyle \frac{4\pi^2a^2b^2}{(a+c)^2v^2}$

Por otro lado, como sabemos que el momento angular es constante, podemos hallar la relacion entre las velocidades en el apoastro y en el periastro, posiciones en las cuales el vector posicion es perpendicular al vector velocidad:

(a+c)v=(a-c)v_1

Siendo v_1 la velocidad en el periastro.
Despejando v_1 :

(2)

$v_1=\displaystyle \frac{(a+c)v}{(a-c)}$

Tambien podemos notar la relacion entre la energia cinetica y la energia potencial en cada una de estas posiciones, planteando la conservacion de la energia mecanica (ya que es un sistema cerrado):

$\displaystyle \frac 1 2 m v^2 - \frac{GMm}{(a+c)} =\displaystyle \frac 12 m {v_1}^2 - \frac{GMm}{...$