Ecuación de la energía potencial gravitatoria

Siendo que el trabajo se define (entre otras cosas) como la diferencia de una forma de energia de un sistema, en dos estados diferentes, producto de la aplicacion de una fuerza, podemos calcular la diferencia de energia producto de la fuerza gravitatoria, calculando el trabajo.

Como se puede notar, siempre se esta hallando una diferencia de energia entre dos puntos. Ahora, si fijamos una posicion la cual consideramos el cero de la energia, se podra trabajar de forma mas ordenada ya que comparamos cualquier estado de energia con el estado en dicho punto.
Si el cero de la energia potencial lo colocamos en el infinito, es decir entonces . Esto hace que la energia en un punto, con respecto a la energia que se toma como cero (y que esta en el infinito), es decir, la energia de una posición sea:

Published in: on 21 marzo, 2010 at 17:31  Dejar un comentario  

Tercera ley de Kepler

La tercera ley de Kepler hace explicita cual es la relacion entre el semieje mayor de una orbita, el periodo y la masa central en un sistema de iguales caracteristicas que el mencionado en la segunda ley de Kepler.

Como ya fue demostrado, para toda orbita descripta por un cuerpo como consecuencia de una fuerza central vale que:

A=\displaystyle \frac{L}{2m} t

Siendo que ya se demostro que que toda orbita producto de la fuerza gravitatoria es eliptica, podemos aplicar dicha relacion para esa forma en particular.
El area barrida al haber transcurrido un tiempo T igual al periodo, sera el area de toda la elipse, ya que por definicion de periodo este es el tiempo que tarda el cuerpo en volver al mismo estado, y siendo que el cuerpo transcribe una orbita eliptica, es necesario que para volver al mismo estado recorra todo el perimetro de la elipse, o lo que es lo mismo, que el radiovector barra todo el area.
Como el area de la elipse es A=ab\pi, siendo a el semieje mayor y b el semieje menor, por lo ya dicho vale:

ab\pi=\displaystyle \frac {L}{2m} T

El momento angular L = rmv sen \alpha se mantiene constante (ver demostracion de la segunda ley de kepler), y por lo tanto su valor es el que tenga en cualquiera de las posiciones que puede tomar. Tomemos el valor de Len el apoastro, en donde entre el vector posicion y el vector velocidad hay 90º. Si llamamos c a la distancia focal:

\displaystyle ab\pi=\displaystyle \frac{(a+c)v}2 T

Despejando el periodo y elevando al cuadrado ambos lados de la igualdad:

(1)

T^2=\displaystyle \frac{4\pi^2a^2b^2}{(a+c)^2v^2}

Por otro lado, como sabemos que el momento angular es constante, podemos hallar la relacion entre las velocidades en el apoastro y en el periastro, posiciones en las cuales el vector posicion es perpendicular al vector velocidad:

(a+c)v=(a-c)v_1

Siendo v_1 la velocidad en el periastro.
Despejando v_1:

(2)

v_1=\displaystyle \frac{(a+c)v}{(a-c)}

Tambien podemos notar la relacion entre la energia cinetica y la energia potencial en cada una de estas posiciones, planteando la conservacion de la energia mecanica (ya que es un sistema cerrado):

\displaystyle \frac 1 2 m v^2 - \frac{GMm}{(a+c)} =\displaystyle \frac 12 m {v_1}^2 - \frac{GMm}{...

Entonces:

\displaystyle \frac 12 (v^2- {v_1}^2)=\displaystyle GM (\frac 1 {(a+c)} - \frac 1 {(a-c)})

Operando y sustituyendo v_1 por su expresion equivalente mostrada en (2):

\displaystyle \frac 12 (v^2 - v^2 \frac {(a+c)^2}{(a-c)^2})=GM(\frac{(a-c)-(a+c)}{(a+c)(a-c)})

En la parte izquierda de la igualdad, sacamos factor comun v^2 y calculamos la expresion que queda entre parentesis :

\displaystyle \frac{v^2}2 \frac{(a-c)^2 - (a+c)^2}{(a-c)^2}=\frac{-2GMc}{(a+c)(a-c)}

Despejando v^2:

\displaystyle v^2=\frac{-2GMc[2(a-c)^2]}{(a+c)(a-c)[(a-c)^2-(a+c)^2]}=\frac{-4GMc(a-c)}{(a+c)[(a...

Por el binomio de Newton sabemos que vale que:

(a-c)^2-(a+c)^2=a^2-2ac+c^2-a^2-2ac-c^2=-4ac

Entonces

\displaystyle v^2=\frac{-4GMc(a-c)}{-4ac(a+c)}=\frac{GM(a-c)}{a(a+c)}

Sustituyendo este valor en (1):

\displaystyle T^2={4\pi^2a^2b^2}:{(a+c)^2 \frac{GM(a-c)}{a(a+c)}

Simplificando y haciendo la división:

\displaystyle T^2=\frac{4\pi^2a^3}{GM} \frac{b^2}{(a+c)(a-c)}

como para todo x,y se cumple x^2-y^2=(x+y)(x-y) (diferencia de cuadrados)

\displaystyle T^2=\frac{4\pi^2a^3}{GM} \frac{b^2}{a^2-c^2}

Valiendo para la elipse (por el teorema de pitagoras) a^2=b^2+c^2, y por lo tanto a^2-c^2=b^2

\displaystyle T^2=\frac{4\pi^2a^3}{GM} \frac{b^2}{b^2}

Por lo que se concluye que

\displaystyle T^2=\frac{4\pi^2a^3}{GM}

Que es la tercera ley de kepler

Published in: on 21 marzo, 2010 at 3:02  Dejar un comentario  

Segunda ley de Kepler

Esta ley enuncia que el radiovector de un astro que orbita en torno a otro (de masa mucho mayor, ya que en realidad ambos giran en torno al centro de masa, pero siendo que el que se menciona en esta aclaracion tiene masa mucho mayor, el centro de masa del sistema esta practicamente en el centro de dicho astro), con respecto al cuerpo central (es decir que el punto de referencia es el astro de mayor masa) barre areas iguales en tiempo iguales. Esto indica que, por ejemplo los astros orbitantes tienen mayor velocidad en el periastro (cuando estan mas cerca del  cuerpo central) que en el apoastro (donde estan mas lejos). Pasemos a la demostracion:

Empecemos por notar que el momento angular permanece constante en la trayectoria de un cuerpo que es afectado unicamente por una fueza central:

El momento de fuerza generado por el cuerpo central es por definicion:

Entonces la magnitud de es

siendo el radiovector, la fuerza gravitatoria y el angulo entre los vectores anteriores (la fuerza y el radiovector).

como es una fuerza central, el angulo entre este y es siempre cero, por lo tanto:

Como entonces podemos concluir que es constante.

Una vez notado esto, podemos comenzar con la demostracion que nos incumbe.
Empecemos por trazar dos rectas desde un punto en el interior de la curva cerrada, la cual representa la orbita describida por el cuerpo, hasta un elemento del perimetro de la misma, donde la separacion angular entre ellas sea de . El punto representa la ubicacion del cuerpo que genera la fuerza central. De esta manera nos quedara algo semejante a los siguientes graficos:

Lo que a continuacion se expresara, será notorio que es valido en general para cualquier curva cerrada y en particular para una elipse.
En el grafico, se puede notar un triangulo en donde dos de sus lados, son practicamente y el otro lado es . Al ser que el angulo es tan pequeño, el arco entre las intersecciones de las rectas y el perimetro, es practicamente . Es deicir que al ser tan pequeño este arco, lo podemos rectificar sin que con eso nos de un error significativo.
Teniendo en cuenta esto, podemos decir que el elemento diferencial de area (el rojo) es:

(2.1)

Como . Si sustituimos por su expresion equivalente en (2.1) :

(2.2)

Como y es constante, entoneces su valor sera el que tiene cuando , por lo tanto . Siendo que , . Teniendo en cuenta esto, sustituimos en (2.2) :


integrando a ambos lados queda:

Entonces con esto podemos analizar el area barrida en un lapso de tiempo, aplicando la formula para un y para un



haciendo la diferencia:


 Como la expresion es constante, ya que el momento angular lo es y tambien lo es la masa, se puede notar que el area barrida (la diferencia de areas) solamente depende del tiempo que transcurra, y no de la posicion inicial y final.

Published in: on 21 marzo, 2010 at 2:24  Dejar un comentario  
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